On oriente une droite en choisissant sur celle-ci un sens de parcours, c'est à dire un vecteur unitaire^[1] \vec u . Le parcours de A vers B est dit positif si le vecteur \overrightarrow{AB} est un multiple positif du vecteur \vec u , c'est-à-dire si les deux vecteurs ont le même sens. -- La culture et l'invention des horloges a permis de nommer ces deux orientations. Une orientation dans laquelle les aiguilles d'une horloge tournent dans le sens positif est appelée orientation horaire ou sens des aiguilles d'une montre. En mathématique, on privilégie plutôt l'autre orientation appelée orientation anti-horaire ou sens trigonométrique. -- La culture, ici aussi, a privilégié un sens appelé direct : celui correspondant au vissage d'une vis ou d'un tire-bouchon. La base (\vec i,\vec j , \vec k) est dite directe si, en tournant de \vec i vers \vec j , la vis ou le tire-bouchon s'enfonce dans la direction \vec k . C'est ainsi que l'orientation (haut, droite, devant) est directe et permet accessoirement de distinguer la droite et la gauche. C'est la même orientation directe que l'on trouve avec la règle des trois doigts de la main droite : le triplet (pouce, index, majeur) définit une orientation directe. On voit donc que le choix d'une orientation est liée à la notion de droite et de gauche. -- L'orientation d'une courbe (en toute rigueur, différentiable) est imposée par le choix d'une paramétrisation. Une courbe a exactement deux orientations. Intuitivement, l'orientation d'une courbe est un sens de parcours : si on se représente une courbe par une route à double sens, il y a deux façons différentes de la parcourir suivant le sens dans lequel on roule. Formellement, deux paramétrisations définissent la même orientation lorsque les vecteurs dérivés sont positivement proportionnels ; on définit ainsi une relation d'équivalence sur l'ensemble des paramétrisations d'une courbe, et on dispose de deux classes d'équivalence distinctes, appelées orientations. Si c(t) est un paramétrage de la courbe (t est un paramètre réel), le sens direct est le sens dans lequel t augmente. L'application t \mapsto c(-t) est un autre paramétrage qui définit la seconde orientation. Pour une courbe définie dans un espace vectoriel réel euclidien E, l'abscisse curviligne est une version orientée de la longueur. A une constante additive près, sa définition dépend d'un choix arbitraire de signe qui correspond exactement au choix d'une orientation de la courbe. L'abscisse curviligne augmente quand on parcourt la courbe dans le sens direct, et diminue donc dans l'autre sens. On peut choisir librement son origine, c'est-à-dire le point où elle prend la valeur 0. L'abscisse curviligne est alors positive ou négative selon qu'on est en-deçà ou au-delà de l'origine. -- Ce paramétrage naturel définit une orientation du cercle unité, appeléé orientation trigonométrique ou sens anti-horaire. -- Si cette convention est choisie, alors on a concrètement : * Le sens direct de l'espace correspond au mouvement d'une vis que l'on visse dans une plaque de bois ; * Son sens indirect correspondant alors au mouvement de la vis que l'on dévisse de cette plaque de bois. L'orientation d'un espace vectoriel euclidien de dimension 3 autorise l'introduction du produit vectoriel. L'orientation intervient dans le choix du sens du vecteur \vec{i} \wedge \vec{j} . -- Une orientation d'une surface S est la donnée d'orientations de ses plans tangents T[M]S, et qui en un sens à préciser sont compatibles. Si ce plan tangent peut se réaliser comme un plan vectoriel de R^3, le choix d'une orientation se résume au choix d'une orientation sur l'orthogonal, qui est une droite vectorielle. La définition de l'orientation des surfaces plongées dans R^3 est dont particulière.