Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

                             Ficha de Trabalho

                                Matemática B

   Ano Lectivo
   2002/03
                                                        10.º Ano

Caixas Sem Tampa

   Construção de caixas sem tampa, a partir de uma folha rectangular.
   Medidas de grandezas associadas a essas caixas.


        São estas e outras situações que vais abordar seguidamente.





   1.   Cada uma das caixas representadas na figura tem 10 cm de
   comprimento, 4 cm de largura e 3 cm de altura e foi atada com uma
   fita.


   

         Em qual das caixas A, B ou C se gastou mais fita?
   E menos fita?

   2.   Considera caixas paralelepipédicas.

   a)   Mostra que uma caixa com dimensões de 4, 5 e 6 unidades tem uma
   diagonal com o mesmo comprimento que a diagonal de uma outra caixa de
   dimensões de 2, 3 e 8 unidades.

   b)   Descobre outros pares de caixas cujas arestas tenham comprimento
   um número inteiro de unidades e cujas diagonais tenham o mesmo
   comprimento.

   Há, pelo menos, mais três soluções em que o comprimento de qualquer
   das arestas é inferior a 10 unidades.

   3.   Tem-se uma folha rectangular de cartolina com as dimensões de 20
   cm por 30 cm. Para construir uma caixa sem tampa, vão ser cortados
   quatro cantos quadrados como é indicado na figura.

   a)   Entre que valores pode variar o lado do quadrado a cortar?

   b)   Constrói, por dobragem, uma caixa sem tampa.
   Tem em consideração o seguinte:

                                   Grupo

                         Lado do quadrado a cortar
                                  (em cm)

                                     A

                                     1

                                     B

                                     2

                                     C

                                    2,5

                                     D

                                     4

                                     E

                                     5

                                     F

                                     6

                                     G

                                    7,5

                                     H

                                     9


   c)   Agora que as caixas dos diversos grupos estão construídas, pela
   comparação (sem fazeres qualquer cálculo) que fizeres dos seus
   volumes, dispõe-nas por ordem crescente de volume.

   d)   Determina agora o volume de cada uma das caixas construídas pelos
   diferentes grupos e compara a ordenação crescente dos seus volumes com
   a que fizeste na alínea anterior. Alguém acertou na caixa construída
   com maior volume?

   e)   Relativamente à caixa construída com maior volume:

   e1)   Qual é a sua área exterior?

   e2)   Qual é o número máximo de cubos com 3 cm de aresta que cabem
   dentro dessa caixa, sabendo que as faces dos cubos têm de estar
   paralelas às paredes da caixa?

   e3)   Qual é o comprimento do maior lápis que cabe nessa caixa?

   f)    Podes estar a pensar que a caixa de maior volume possível de
   construir é a referida na alínea anterior, mas isso não corresponde à
   verdade!

         Na folha de cálculo dinâmica podes calcular o volume da caixa
   com outros valores para o lado do quadrado.

         Qual é o valor (com aproximação à décima de milímetro) para o
   comprimento do lado do quadrado que origina o volume máximo para a
   caixa?

   g)   Executa a Aplicação JavaSketchpad.
   Que relação existe entre o cubo e a caixa representados?



   4.   A partir da mesma cartolina fez-se uma caixa com as dimensões
   assinaladas na figura.



         Qual o comprimento do caminho mais curto para uma formiga ir do
   ponto A para o ponto B, deslocando-se pelas paredes da caixa?







   António Amaral          Círculo de Estudos - Desenvolvimento do
   Programa de 10.º Ano de Matemática B para o Ensino Secundário