关系 (数学)

在数学上，关系是对如等于 = 或序 < 等二元关系的广义化。

[编辑] 简介

参考一个如“ X 认为 Y 喜欢 Z ”之类的关系，其实际情形如下：

上表的每一行都代表着一个事实，并给出“ X 认为 Y 喜欢 Z ”此类形式的断言。例如，第一行即表示“韵如认为柏豪喜欢佳馨”。上表表示一个在集合 P 上的关系 S，其中：

P = {韵如,柏豪,正干,佳馨}

包括表中所有的人物。表中的资料则等同于如下的有序对：

S = {(韵如,柏豪,佳馨), (正干,韵如,柏豪), (正干,正干,韵如), (佳馨,佳馨,佳馨)}

若较不严谨些，通常会将 S(韵如,柏豪,佳馨) 用来指上表中第一行的同一种关系。关系 S 为“三元”关系，因为每一行都包含了“三个”项目。关系是一个以集合论中的概念定义出的数学物件（即关系为 {X,Y,Z} 的笛卡儿积的子集），包含了表中所有的讯息。因此，数学上来说，关系简单是个集合。

k 元关系在数学上有两种常见的定义。

定义1 在集合 X₁、…、X_k 上的关系 L 是指集合的笛卡儿积的子集，写成 L ⊆ X₁ × … × X_k。因此，在此定义下， k 元关系简单是个 k 元组。

第二个定义用到数学上一个常见的习惯－说“某某为一 n 元组”即表示此一某某数学物件是由 n 组数学物件的描述来判定的。在于集合 k 上的关系 L中，会有 k+1 件事要描述，即 k 个集合加上一个这些集合笛卡儿积的子集。在此习惯下， L 可以说是一个 k'+1 元组。

定义2 在集合 X₁、…、X_k 上的关系 L 是一个 k+1 元组 L = (X₁, …, X_k, G(L)) ，其中 G(L) 是笛卡儿积X₁ × … × X_k的子集，称之为 L 的“关系图”。

两个正整数 n 和 m 之间“可除性”的关系是指“ n 整除 m ”。此一关系通常用一特殊的符号“ | ”来表示它，写成“ n|m ”来表示“ n 整除 m ”。

若要以集合来代表可除性的二元关系，则有一个正整数的集合 P = {1,2,3,…} ，和一个在 P上的二元关系 D ，其中 D为一包含了所有 n|m 的有序对 (n,m)。

例如，像是2为4的因数及6为72的因数，则可写成 2|4 和 6|72 ，或 D(2,4) 和 D(6,72) 。

对三维空间内的线 L，存在一个三条线为共面的三元关系。此一关系“无法”缩减成两条线共面的二元对称关系。

换句话说，若 P(L,M,N) 表示线 L 、 M 、 N 共面，且 Q(L,M) 表示线 L 、 M 共面，则 Q(L,M) 、 Q(M,N) 和 Q(N,L) 不能合起来代表 P(L,M,N) 也是对的；但相反则是正确的（三条共面的线之中的一对必然也会是共面的）。其中有两个几何上的反例。

第一个是，如 x 轴、 y 轴和 z 轴之类共点（即交于同一点）的三条线。另一个则是在任一三角柱上平行的三边。

若要正确，则必须加上每对线都会相交且相交的点都不同。如此一来，每对线的共面才会意指三条线的共面。

n 元谓词就是含有 n 个变量的布尔值函数。

由于上述的 n 元关系定义了 (x₁, ..., x_n) 属于 R 时唯一的 n 元谓词（反之亦然），关系和谓词通常使用相同的符号。所以下列两种写法一般认为是等价的：

$(x_1,x_2,\dotsb)\in R$

$R(x_1,x_2,\dotsb)$