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Les limites de la raison

   mardi 26 décembre 2006 par [3]Van zuijlen

   Le nombre omega Complexité et lois scientifiques

   L'histoire commence en 1686 par l'essai philosophique Discours de
   métaphysique (discours de Gottfried W. Leibniz sur la métaphysique),
   dans lequel il "discute" comment peut on distinguer des faits qui
   peuvent être décrits par une certaine loi et ceux qui sont des faits
   anarchiques et irréguliers. Leibniz émet l'idée très simple et
   profonde qu'une théorie se doit d'être plus simple que les données
   qu'elle explique, autrement elle n'explique rien. Le concept d'une loi
   devient vide si l'on autorise une complexité mathématique
   arbitrairement élevée , parce qu'alors on peut toujours construire une
   loi qui explique n'importe quel phénomène aléatoire . Réciproquement,
   si la seule loi qui décrit quelques données est extrêmement
   compliquée, alors les données sont réellement anarchiques.

   Liebniz Aujourd'hui les notions de complexité et de simplicité sont
   mises en termes quantitatifs précis par une branche moderne des
   mathématiques appelée théorie algorithmique de l'information. La
   théorie ordinaire de l'information mesure l'information en demandant
   combien de bit sont nécessaire pour coder l'information. Par exemple,
   elle prend un bit pour coder une réponse simple : oui/non.
   L'information algorithmique, en revanche, est définie en demandant
   quelle est la longueur minimale que doit avoir un programme pour
   produire ces données. Par exemple la suite des nombres 1,2,3,4.... a
   une information algorithmique très petite, puisqu'un programme très
   court permet de les générer. Il en va de même pour le nombre pi, un
   algorithme assez court permet de déterminer les décimales de pi . En
   revanche un nombre aléatoire possédant un million de chiffres pourra
   être généré par un programme aussi long que le nombre lui-même. En
   d'autres termes, de tels jets de chiffre sont incompressibles, ils
   n'ont aucune redondance ; le meilleur qu'on puisse faire pour les
   générer est de les écrire directement. Ils s'appellent irréductibles
   ou algorithmiquement aléatoires.

   Comment de telles idées se relient-elles aux lois et aux faits
   scientifiques ?

   La première machine à calculer de Liebniz Une théorie scientifique est
   comme un programme , elle doit prévoir les observations qui ont été
   faites expérimentalement. Deux principes fondamentaux confortent ce
   point de vue. D'abord le principe du rasoir d'Occam : Si deux théories
   expliquent des données , la plus simple doit être préféré. Autrement
   dit si deux programmmes permettent de générer des données, le plus
   simple doit être préféré. Et en second lieu, si une théorie est aussi
   compliquée que ce qu'elle est censée expliquer alors elle n'a aucune
   valeur. En d'autre terme si un programme est aussi long que les
   données qu'il est censé générer alors c'est que l'on n'a pas pu
   compresser ces données qui sont donc irréductibles. Une théorie utile
   est une compression des données ; la compréhension est compression.

   Le principe de la raison Suffisante

   Tout ce qui arrive, arrive pour une raison. Si quelque-chose est vrai
   cela doit être pour une raison. Mais même si nous ne pouvons pas
   toujours voir une raison (peut-être parce que la chaîne du
   raisonnement est longue et subtile), Leibniz affirme que Dieu peut
   voir la raison. Les mathématiciens croient certainement en ce principe
   de Leibniz , parce qu'ils essayent toujours de tout prouver . Ils ont
   passé des siècles à tout démontrer et même si ce sont des évidences
   ils chercheront à démontrer le cas général. Rien d'autre ne pourra les
   satisfaire. Et voici où le concept d'information algorithmique peut
   apporter sa contribution étonnante à la discussion . Il indique que
   certains faits mathématiques sont vrais pour aucune raison, une
   découverte qui fait tomber le principe de la raison suffisante.

   Kurt Gödel a démontré que les mathématiques sont nécessairement
   inachevées, contenant les rapports vrais qui ne peuvent pas être
   formellement prouvés. K. Gödel et A. Turing ont par leur travaux
   prouvé que quelque-soit un système d'axiomes choisi il existe une
   infinité de verités mathématiques indémontrables. Toute théorie
   mathématique est basée sur un système d'axiomes, que l'on considère
   comme vrai sans chercher à les démontrer. À partir de ces axiomes on
   déduit des conséquences qui sont les théorèmes etc.. Ce modèle est
   celui d'Euclide, nous fonctionnons encore sur ce modèle. Alan M.
   Turing en 1936, a démontré qu'il ne peut y avoir aucun procédé général
   pour décider si un programme stoppera ou non. Nous savons qu'il existe
   une infinité de vérités mathématiques que l'on ne pourra déduire de
   tels axiomes, la seule solution est de les intégrer comme axiomes !!.
   Certains résultats n'ont pas "encore" été prouvés , comme la
   conjecture de Goldbach : Tout nombre entier pair supérieur à 2 peut
   être écrit comme la somme de deux nombres premiers.Cependant elle a
   été vérifiée avec un ordinateur jusqu'à des nombres très
   grands....Pourquoi ne pas la considérer alors comme vraie ?

   Le nombre Omega

   Considérons l'ensemble de tous les programmes informatiques possibles.
   La question fondementale est : est-ce-qu'un programme choisi au hasard
   va s'arréter ? si oui alors les données qu'il génere ne sont pas
   irréductible, si non alors elles sont irréductibles. A. Turing a
   prouvé que l'on ne peut pas savoir à l'avance si un programme s'arrête
   ou pas , il n'y a pas de solution générale. Aucun algorithme, aucune
   théorie mathématique, ne peut nous indiquer quels programmes
   stopperont et ceux qui ne stopperont pas . Le nombre Oméga est la
   probabilité de voir s'arréter un programme...C'est une probabilité
   bien définie mais incalculable ( sinon cela contredirait les résultats
   de Turing ). Oméga est lui-même irréductible et nous fournit un nombre
   infini d'irréductibles...Ainsi on ne peut savoir à l'avance si tel ou
   tel programme génère des données ,ce qui entraine qu'une théorie du
   tout en mathématiques ne peut éxister. Les mathématiques ont donc une
   complexité infinie. Ainsi peut-être , les mathématiciens ne devraient
   pas essayer de tout prouver . Parfois ils devraient juste ajouter de
   nouveaux axiomes.

   Cet article est tiré d'une publication de [4]G.Chaitin..

[5]Van zuijlen

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