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Valeur absolue

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   En [7]mathématiques, la valeur absolue (parfois appelée module) d'un
   [8]nombre réel est sa valeur numérique sans tenir compte de son
   [9]signe. En [10]programmation informatique, l'[11]identificateur
   utilisé pour désigner la valeur absolue est usuellement abs. Il existe
   de nombreuses généralisations de la valeur absolue dans des espaces
   plus abstraits ([12]nombre complexe, [13]espace vectoriel ou encore
   [14]corps), voir par exemple l'article [15]norme. La notion de valeur
   absolue est proche de celle de [16]distance, de [17]magnitude dans de
   nombreuses branches de la [18]physique et des [19]mathématiques.

Sommaire

     * [20]1 Valeur absolue d'un nombre réel
          + [21]1.1 Première approche
          + [22]1.2 Définition
          + [23]1.3 Propriétés
          + [24]1.4 Valeur absolue et distance
          + [25]1.5 Extension aux nombres complexes
     * [26]2 La fonction valeur absolue
     * [27]3 Valeur absolue dans un corps
          + [28]3.1 Exemples

[[29]modifier] Valeur absolue d'un nombre réel

[[30]modifier] Première approche

   Un [31]nombre réel est constitué de deux parties : un signe + ou - et
   une valeur absolue.

   + 7 est constitué du signe + et de la valeur absolue 7.

   - 5 est constitué du signe - et de la valeur absolue 5.

   La valeur absolue de (+ 7) est donc 7, la valeur absolue de (- 5) est
   donc 5.

   Comme il est fréquent de supprimer le signe lorsque celui-ci est +, on
   obtient alors
     * la valeur absolue de 7 est 7.
     * la valeur absolue de (- 5) est 5, c'est-à-dire l'opposé de (- 5).

   D'où la définition suivante.

[[32]modifier] Définition

   Pour tout [33]nombre réel x, la valeur absolue de x (notée | x | ) est
   définie par :
     * | x | = x, si x > 0
     * | x | = - x, si x < 0
     * | x | = 0, si x = 0

   Nous remarquons que | x | = max( - x,x)

[[34]modifier] Propriétés

   La valeur absolue possède les propriétés suivantes :
     * \forall a \in \R,\ |a| \geq 0
     * \forall a \in \R,\ |a|=0 \Leftrightarrow a = 0
     * \forall a,b \in \R,\ |ab|=|a| \times |b|
     * \forall a \in \R,\ \forall b \in \R^*,\ \left|\frac{a}{b}\right|
       =\frac{|a|}{|b|}
     * \forall a,b \in \R,\ |a+b| \leq |a| + |b| (inégalité triangulaire)
     * \forall a,b \in \R,\ |a - b| \geq ||a|-|b|| (deuxième inégalité
       triangulaire, découle de la première)
     * \left|\sum_{k=1}^n a_k\right|\leq \sum_{k=1}^n |a_k| (inégalité
       triangulaire généralisée à une famille finie (a[i]))
     * Soit f:I\subset \R \longrightarrow \R continue sur I, \left|\int_I
       f(t)\mathrm{d}t\right|\leq \int_I|f(t)|\mathrm{d}t
     * \forall a \in \R,\ |a|=\sqrt{a^2}
     * \forall a,b \in \R,\ |a| \leq b \Leftrightarrow - b \leq a \leq b
     * \forall a,b \in \R,\ |a| \geq b \Leftrightarrow a \leq -b ou a
       \geq b

   Ces dernières propriétés sont souvent utilisées dans la résolution des
   inéquations ; par exemple pour un x réel:

          \begin{array}{lcll} &|x-3|&\leq 9 &\\ \Longrightarrow &-9 &\leq
          x - 3 &\leq 9 \\ \Longrightarrow &-6 &\leq x &\leq 12
          \end{array}

[[35]modifier] Valeur absolue et distance

   Il est utile d'interpréter l'expression | x - y | comme la distance
   entre les deux nombres x et ysur la droite réelle.

   En munissant l'ensemble des nombres réels de la distance valeur
   absolue, il devient un [36]espace métrique.

   La résolution d'une inéquation telle que |x - 3| \leq 9 se résout
   alors simplement à l'aide de la notion de distance. La solution est
   l'ensemble des réels dont la distance au réel 3 est inférieure ou
   égale à 9. C'est l'intervalle de centre 3 et de rayon 9. C'est
   l'intervalle [3 - 9;3 + 9] = [ - 6;12].

[[37]modifier] Extension aux [38]nombres complexes

   La même notation s'emploie pour le module d'un complexe. Ce choix est
   légitime parce que les deux notions coïncident pour les complexes dont
   la partie imaginaire est nulle. En outre, le module \left|z_2 -
   z_1\right| de la différence de deux nombres complexes z[1] = x[1] +
   iy[1] et z[2] = x[2] + iy[2] est la [39]distance euclidienne des deux
   points \left(x_1, y_1\right) et \left(x_2, y_2\right) .
     * |a+ib| = \sqrt{a^2+b^2}
     * Si b est nul, module de a = \sqrt{a^2} = valeur absolue de a

[[40]modifier] La [41]fonction valeur absolue

   Cette fonction fait correspondre à tout x, x si celui-ci est positif
   ou - x si celui-ci est négatif. La fonction valeur absolue est à
   valeurs positives, [42]paire.

   La fonction valeur absolue f définie par f(x) = | x | est [43]continue
   sur \mathbb R et [44]dérivable sur \mathbb R^* mais n'est pas
   dérivable en 0.
   [45]La fonction valeur absolue de x 
   La fonction valeur absolue de x

   Si f est une fonction,
     * la fonction g définie par g(x) = f( | x | ) est une fonction paire
       coïncidant avec f pour tout x de D_f \cap \mathbb{R}_+ .
     * la fonction h définie par h(x) = | f(x) | est une fonction
       coïncidant avec f pour tout x tel que f(x) \geq 0 et coïncidant
       avec - f pour tout x tel que f(x) \leq 0

[[46]modifier] Valeur absolue dans un corps

   Une valeur absolue définie sur un [47]corps \mathbb{K} est une
   application qui à tout élément x de \mathbb{K} fait correspondre un
   nombre réel [48]positif noté | x | de telle sorte que  :

          + \forall x \in \mathbb{K} : |x| = 0 \iff x = 0 (séparation) ;
          + \forall (x,y) \in \mathbb{K}^2 : |x + y| \leq |x| + |y|
            (inégalité triangulaire) ;
          + \forall (x,y) \in \mathbb{K}^2 : |x \times y| = |x| |y|

   Une valeur absolue est dite ultramétrique si

          + \forall (x,y) \in \mathbb{K}^2 : |x + y| \leq \max( |x| , |y|
            )

   On peut utiliser des valeurs absolues sur un [49]anneau ou un
   [50]groupe grâce à la valeur absolue induite sur ce groupe ou ce
   corps.

[[51]modifier] Exemples

     * Le [52]module défini sur \mathbb{C} est bien une valeur absolue
       d'où le fait qu'on utilise la même notation.
     * La valeur absolue [53]p-adique défini sur le corps \mathbb{Q}_p (p
       un [54]nombre premier) est une valeur absolue ultramétrique.

   [55]Portail des mathématiques
   Récupérée de « [56]http://fr.wikipedia.org/wiki/Valeur_absolue »

   [57]Catégories : [58]Nombre o [59]Fonction remarquable

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     * [114]­
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   [116]Powered by MediaWiki 
   [117]Wikimedia Foundation 
     * Dernière modification de cette page le 30 novembre 2007 à 12:37.
     * [118]Droit d'auteur : Tous les textes sont disponibles sous les
       termes de la [119]licence de documentation libre GNU (GFDL).
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       Inc., association de bienfaisance régie par le paragraphe
       [121]501(c)(3) du code fiscal des États-Unis.
     * [122]Politique de confidentialité
     * [123]À propos de Wikipédia
     * [124]Avertissements

References

   Visible links
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   2. http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html
   3. http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Special:Recentchanges&feed=rss
   4. http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Special:Recentchanges&feed=atom
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   6. file://localhost/cygdrive/c/PROJET/pagesaspirees/mathematique/francais/URL_3.html#searchInput
   7. file://localhost/wiki/Math%C3%A9matiques
   8. file://localhost/wiki/Nombre_r%C3%A9el
   9. file://localhost/wiki/Signes_plus_et_moins
  10. file://localhost/wiki/Programmation_informatique
  11. file://localhost/wiki/Identificateur
  12. file://localhost/wiki/Nombre_complexe
  13. file://localhost/wiki/Espace_vectoriel
  14. file://localhost/wiki/Corps_%28math%C3%A9matiques%29
  15. file://localhost/wiki/Norme_%28math%C3%A9matiques%29
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