Ce WebLog est bilingue, certaines entrées sont en anglais et d'autres sont en français. Quelques-unes ont une version dans chaque langue. À part ça, les entrées en français ne sont pas des traductions de celles en anglais ou vice versa. Bien sûr, si vous ne comprenez que le français, les entrées en français devraient être assez compréhensibles sans lire celles en anglais.
     * Les volcans. Il y a assez souvent des éruptions volcaniques dans mes rêves. (Quand je dis souvent, ça ne veut pas dire toutes les nuits, ni même toutes les semaines, bien sûr, et même une fois par mois me semblerait très exagéré en tout cas dans les rêves que je me rappelle, mais ça arrive quand même avec une certaine régularité, d'autant plus fréquente que je n'ai pas le souvenir d'aucun rêve d'innondation, de cyclone, d'incendie d'origine non-volcanique, de tremblement de terre sans volcanisme associé, ou d'aucune autre catastrophe naturelle.) J'avais sans doute été terrifié, quand j'étais petit, quand on m'avait appris des choses sur le volcanisme. Je me souviens notamment d'une histoire d'un fermier dans je ne sais quel pays qui avait un jour remarqué que son foin était chaud, et quelques jours plus tard sa maison avait été détruite — ça m'avait beaucoup marqué (et de fait, je rêvais souvent que ma maison était détruite par un volcan). D'un
     * Le vertige. Dans la vraie vie j'ai très facilement le vertige (je peux monter en haut d'un escabeau, mais pas à la cathédrale de Strasbourg), et ce n'est pas spécialement agréable. Dans les rêves, bizarrement, ça l'est. (Ceci étant, même éveillé j'aime bien regarder des vidéos comme celle-ci ou celle-là ou encore cette troisième.)
   Petit complément à l'entrée précédente : j'ai refait des vidéos qui me semblent meilleures. (Disponible à la même adresse que les précédentes, lesquelles ont été reléguées au sous-répertoire old/ ; et aussi sur la même playlist YouTube.) Outre que j'ai corrigé un problème d'orientation entre les vues avant et les vues de côté (décidément, POVray m'embrouille complètement avec son système de coordonnées), la principale différence avec les précédentes est que je montre maintenant aussi ce qui se passe dans l'hémisphère éloigné de l'observateur (l'hémisphère « trans »). Par une combinaison de décision éclairée et de fainéantise, j'ai choisi de rendre ces choses-là comme de simples lignes rouges sans texture ni épaisseur (bon, rouges, elles ne le sont plus tellement après l'encodage vidéo, mais je pense qu'on devinera bien de quoi je parle). Normalement, dans cet hémisphère, plus les objets sont lointains (c'est-à-dire, proches des
   Cela vaut notamment la peine de regarder les vues de côté : il est amusant de constater que bien qu'en regardant en face on avance manifestement tout droit, quand on regarde sur le côté, on se trouve en train de tourner autour d'un axe (regardez ce qui se passe du côté du polyèdre qui est au centre de la vue et à la frontière entre l'hémisphère cis/gris et l'hémisphère trans/rouge). C'est ça, aussi, vivre dans une 3-sphère : suivre un grand cercle c'est tourner autour d'un axe (qui est lui-même un grand cercle, et il y a une jolie autodualité des grands cercles dans la 3-sphère). Finalement, je crois que réaliser ces vidéos m'a permis de mieux comprendre la 3-sphère mais pas vraiment de mieux comprendre les polytopes réguliers en dimension 4.
   Ah, et à la demande de quelqu'un, j'ai fait le 24-cellule. Comme je le disais, il est totalement sans intérêt car vraiment trop vide (et les autres solides réguliers le sont encore plus).
   Le programme Perl qui a servi à générer toutes ces vidéos est disponible depuis ici.
   J'avais évoqué autrefois la question suivante : comment vaut-il mieux visualiser les solides réguliers en dimension 4 ? (Je rappelle qu'ils sont au nombre de 6, contre 5 en dimension 3 : le 4-simplexe ou pentachore, qui est l'analogue du tétraèdre et qui est son propre dual ; le tesseract ou hypercube, qui est l'analogue du cube ; le 16-cellule ou hyperoctaèdre ou 4-orthoplexe, qui est l'analogue de l'octaèdre et le dual du précédent ; le 24-cellule ou icosatétrachore, qui n'a pas d'analogue en dimension 3 et qui est son propre dual ; le 120-cellule ou hécatonicosachore, qui est l'analogue du dodécaèdre ; et le 600-cellule ou hexacosichore, qui est l'analogue de l'icosaèdre.) Comme les solides réguliers sont très populaires (même ma maman sait qu'il y en a cinq en dimension 3, parce que j'avais un mobile au-dessus de mon lit qui les représentait, quand j'étais petit — une œuvre de mon papa), il y a beaucoup de gens qui ont essayé de représenter ces
   4-polytopes réguliers (voyez par exemple sur Google images) : les façons populaires d'essayer consistent par exemple à projeter orthogonalement (en faisant éventuellement tourner en même temps), à utiliser une projection stéréographique, à faire des patrons, ou encore à utiliser le temps comme 4^e dimension.
   Mais il y a une autre façon de faire, que je n'ai encore jamais vue employée, et qui consiste à se rappeler qu'une autre façon de considérer les solides réguliers est de les voir comme des pavages de la sphère. Pour expliquer dans le cadre plus familier de la 2-sphère en dimension 3, le dodécaèdre, par exemple, peut être considéré comme un solide convexe en dimension 3, mais il peut aussi être considéré comme vivant sur la sphère (imaginez qu'au lieu d'inscrire votre dodécaèdre dans la sphère vous le gonfliez jusqu'à ce qu'il coïncide avec elle, mais en gardant le souvenir des limites des faces ; un peu comme un ballon de football traditionnel est cousu de pentagones et d'hexagones) : le dodécaèdre est alors une façon de paver la sphère avec 12 pentagones réguliers. Pour mémoire, les pentagones réguliers ne pavent pas le plan, et c'est bien le signe que la sphère a une courbure positive qu'on peut la paver avec des pentagones réguliers de sorte que
   trois se touchent à chaque sommet. De même, l'icosaèdre peut être vu comme une façon de paver la sphère avec 20 triangles équilatéraux (certes les triangles équilatéraux pavent déjà le plan, mais là on en met cinq autour de chaque sommet, alors que pour paver le plan on en met six : de nouveau, on voit que la courbure est positive), le cube comme une façon de paver la sphère avec six carrés, etc.
   [Vue du 120-cellule dans la 3-sphère] Exactement la même chose fonctionne une dimension au-dessus : chacun des six solides réguliers de la dimension 4 correspond à un pavage régulier de la 3-sphère. Pour le 120-cellule, par exemple, c'est avec 120 dodécaèdres réguliers : les dodécaèdres réguliers ne pavent pas l'espace euclidien, mais grâce à la courbure de la 3-sphère ils arrivent à la paver, elle. Vous allez me dire que ça n'aide pas vraiment à visualiser les choses, mais en fait si : la 3-sphère étant un espace de dimension 3, fût-il courbe, on peut espérer l'appréhender. L'idée, donc, est de représenter ce que verrait d'un 120-cellule (par exemple) quelqu'un qui vivrait sur (ou faut-il dire "dans" ?) une 3-sphère : un pavage régulier de tout son univers par 120 dodécaèdres réguliers.
   La projection gnomonique est une façon de projeter une sphère sur un plan (ou les objets analogues en dimension supérieure). Elle consiste à projeter depuis le centre de la sphère sur un plan tangent à elle en un point (qu'on appelle le centre de la projection) ; c'est donc quelque chose de très facile à calculer, mais elle est bizarrement beaucoup moins populaire et moins connue que la projection stéréographique (avec laquelle il ne faut pas confondre) qui, elle, projette depuis le point de la sphère opposé au centre de projection. Alors que la projection stéréographique conserve les angles (on dit qu'elle est "conforme"), la projection gnomonique conserve l'alignement : les grands cercles de la sphère (c'est-à-dire ses géodésique, ou « droites », ce que les navigateurs appellent des "orthodromies") deviennent des droites dans la projection gnomonique (c'est assez évident sur la description géométrique). Autrement dit, le plus court chemin pour aller de A
   à B (au moins s'ils sont dans le même hémisphère que le centre de projection) s'obtient juste en traçant une droite sur la projection gnomonique. La plupart des gens (et même pas mal de mathématiciens) sont intimement persuadés que c'est impossible : "comme la sphère est courbe, on ne peut pas envoyer les droites sur des droites" entend-on parfois dire. Pourtant, la projection gnomonique fait bien ça (et c'est la seule), et elle mériterait d'être plus connue même si elle a des défauts qui la rendent peu utilisable en cartographie. Pour les géomètres : alors que la projection stéréographique identifie naturellement la sphère à la droite projective complexe (on parle de sphère de Riemann), la projection gnomonique, elle, identifie naturellement la sphère modulo antipodie au plan projectif réel.
   Quel rapport avec mon problème ? Le point important est que la projection gnomonique fonctionne aussi bien de la 3-sphère vers l'espace euclidien de dimension 3, et ce que voit de la 3-sphère quelqu'un qui vit dessus est donné justement par la projection gnomonique centré au point où se trouve cet observateur. Voici la façon dont je justifiais ce fait dans un mail à un ami :
     Le truc c'est le suivant : (1) pour quelqu'un qui vit dans S³ (en un point P, disons), les grands cercles de S³ apparaissent comme des droites, et (2) plus précisément, ce qu'il voit d'une configuration de droites (=grands cercles) de S³ est exactement la même chose que verrait quelqu'un dans ℝ³ qui verrait la projection gnomonique de ces droites à condition que cette projection gnomonique soit centrée en P.
     La projection gnomonique d'une sphère centrée en un point P de celle-ci, c'est la projection centrale depuis le centre de la sphère (et pas depuis le point antipodal à P qui serait la projection stéréographique, bien plus connue) et sur l'hyperplan tangent à la sphère en P. En fait, c'est bêtement l'identification de la sphère quotientée par l'antipodie avec l'espace projectif de même dimension. L'intérêt, c'est que (a) la projection gnomonique préserve les droites (parce que les droites sont les intersections de la sphère avec des plans passant par l'origine). Par ailleurs, (b) au point P (mais seulement lui), la projection gnomonique préserve les angles (parce que c'est clair que la différentielle en ce point est l'identité, vu qu'on a justement pris le plan tangent). Ces deux propriétés (a) et (b) prouvent mon point (2) (puisque ce que voit un observateur en P sur S³ est déterminé par les angles des grands cercles passant par P et des points de la
     Sauf qu'il y a quand même un problème […] : pour les points qui sont dans l'hémisphère « cis » (celui qui contient P et qui est centré en P), tout se passe bien, mais pour les points qui sont dans l'hémisphère « trans », ils devraient apparaître au-delà de l'infini et on ne peut pas demander ça à un raytracer. (Concrètement, un mec qui vit dans ℝ³ et qui regarde une droite ne voit qu'une demi-droite qui se termine à un « point de fuite » ; alors qu'un mec qui vit dans S³ et qui regarde un grand cercle va vraiment voir le truc se prolonger tout à travers son champ de vision.)
     J'ai quand même fait l'expérience de filer les choses à un raytracer (POVray), en me limitant aux points de l'hémisphère « cis » (et lorsqu'un segment relie les deux hémisphères, je le fais partir à l'infini) : pour les solides un peu remplis (le 120-cellule (« hécatonicosachore ») et le 600-cellule (« hexacosichore »)), c'est très joli. On voit qu'il manque l'hémisphère trans, mais le fait que les rayons partent à l'infini donne l'impression qu'il est noyé dans une brume noire impénétrable. Pour les autres solides réguliers, par contre, ça n'a aucun intérêt : ça donne juste un grand truc essentiellement vide.
   [Vue du 600-cellule dans la 3-sphère] Bref, j'ai réalisé des petites vidéos de tout ça : une visite du 120-cellule (qui pave la 3-sphère par 120 dodécaèdres réguliers, donc), et une visite du 600-cellule (qui la pave par 600 tétraèdres réguliers). Elles sont en basse qualité sur YouTube et téléchargeables en plus haute qualité ici (pour une fois elles sont assez petites pour que je ne m'embête pas à fabriquer des torrents pour le téléchargement). Si on regarde attentivement, on se rend bien compte que l'espace dans lequel on évolue est courbe : les polyèdres et polygones censés être réguliers ne le sont pas vraiment (ce qui est normal, vu que réguliers dans un espace plat ils ne peuvent pas paver), et les angles semblent se modifier subtilement quand la caméra se déplace. [DEL: Et comme je l'explique ci-dessus, je ne montre malheureusement que ce qui se passe dans l'hémisphère « cis » de la 3-sphère (l'hémisphère proche de l'observateur). :DEL]
   Je fournirai prochainement ici le programme Perl qui a servi à générer (les fichiers POVray de) ces animations. Mise à jour : voir ici.
   Par ailleurs, il serait intéressant de faire des animations semblables pour des pavages de l'espace hyperbolique : la géométrie hyperbolique est en quelque sorte le pendant à courbure négative de la géométrie sphérique, par exemple on peut y faire des pentagones réguliers à angles de 90° alors que les pentagones réguliers du 120-cellule ont des angles de 120° et en géométrie euclidienne bien sûr c'est 108°. (Par ailleurs, les « vrais » géomètres nous apprennent que la courbure négative est beaucoup plus intéressant que la courbure positive.) Il y a une image de ce genre ici, mais j'aimerais faire mieux. La projection gnomonique existe aussi pour l'espace projectif, donc la même approche fonctionne (avec la difficulté des deux hémisphères en moins, remplacée par la difficulté que les pavages sont infinis).
   Addendum à l'entrée précédente : on me fait remarquer que le maître de cérémonies d'un séminaire a, ou en tout cas devrait avoir, d'autres rôles : par exemple, quand le séminaire vise un certain public (et notamment si ce public est large), s'assurer que l'orateur reste compréhensible par ce public en interrompant, si besoin est, pour demander de rappeler la définition de tel ou tel concept, ou l'énoncé de tel ou tel théorème (même si le maître de cérémonies lui-même les connaît, probablement : le but est d'éviter aux gens qui ne connaissent pas d'être trop timides pour demander). Malheureusement, ce rôle-là est rarement tenu. De façon plus pragmatique, l'intérêt de la phrase d'introduction est aussi de demander à l'assistance de faire silence (dans la pratique, j'ai rarement l'impression que ce soit nécessaire, sauf dans de très grosses conférences), et de pousser un orateur peut-être un peu timide à se lancer.
   Il y a sans doute quantité de règles comme ça que j'ai apprises et qui me semblent maintenant assez évidentes. Mais c'est un problème pour les gens qui débutent dans le métier : ce genre de règles n'est écrit nulle part — normalement ce devrait être le directeur de thèse qui les fait remarquer, mais il n'y pense pas toujours, ou parfois il n'est pas là. Ne pas les respecter peut être embarrassant (je me souviens avoir commis un impair une fois, mais je ne me rappelle plus de quoi il s'agissait).
Le petit rituel des séminaires
   Cet après-midi, j'ai assisté à trois heures d'exposés : une d'un groupe de travail géo.alg/crypto à Télécom (dont je suis vaguement un co-organisateur) et deux du séminaire Variétés rationnelles (qui pourrait s'appeler séminaire-des-élèves-de-Colliot-Thélène). Les séminaires de mathématiques (et probablement de beaucoup d'autres disciplines, mais je n'en ai pas vu assez pour pouvoir conclure de façon ferme) obéissent à un petit rituel qui m'agace (et que j'ai insisté pour éliminer à notre groupe de travail à Télécom) : ce rituel fait qu'il y a dans un exposé de séminaire deux personnes jouant un rôle distingué : l'orateur (ou conférencier), évidemment, qui est celui qui parle l'essentiel du temps, mais aussi quelqu'un qui est normalement un des organisateurs du séminaire et que j'appellerai (faute de connaître un nom plus standard à ce rôle) le maître de cérémonie (on pourrait aussi dire : le présentateur). Quand il y a plusieurs
   organisateurs d'un séminaire, ils exercent généralement la fonction de maître de cérémonie à tour de rôle, car ce rôle ne peut pas être collégial. Le maître de cérémonie doit impérativement être distinct de l'orateur : aujourd'hui, au séminaire Variétés rationnelles, comme un des organisateurs du séminaire était absent et que l'autre était un des exposants, il a fallu qu'une autre personne (en l'occurrence, Colliot-Thélène) joue ce rôle.
   Le rôle en question, donc, est tout à fait rituel : lorsque le séminaire va commencer, le maître de cérémonie prononce l'incantation propitiatoire (quasiment verbatim) : "Nous écoutons maintenant $nom_du_conférencier, qui va nous parler de $titre_de_l_exposé." Lorsque l'orateur a fini de parler, le maître de cérémonie dit sobrement "merci", et l'assistance peut applaudir (cependant, au séminaire Variétés rationnelles, quand Colliot-Thélène était un des organisateurs, on n'applaudissait pas, selon le principe, avec lequel je suis plutôt d'accord, qu'un exposé de mathématiques n'est pas un tour de magie et qu'il n'y a pas spécialement lieu de manifester son émerveillement). Ensuite, le maître de cérémonie demande à l'assistance "y a-t-il des questions ?", les gens les posent (sans attendre qu'on les invite individuellement à parler), et quand les questions sont taries, le maître de cérémonie a le droit d'en poser lui-même (ce qui est bien vu si
   Il y a, bien sûr, des variantes nationales. En anglais (langue dans laquelle se font la plupart des séminaires hors des mathématiques, et même en mathématiques un grand nombre de séminaires et la majorité des conférences), le maître de cérémonies annoncera : "Our ${if_first_speaker?first:next} speaker for today is $speakers_name, who will talk about $title_of_talk" ; et à la fin : "Let us thank the speaker" (on remarquera qu'en anglais le maître de cérémonie invite l'assistance à remercier l'orateur alors qu'en français il le remercie lui-même et l'assistance se joint spontanément à ces remerciements), et enfin : "Let us thank the speaker again". En allemagne, on n'applaudit pas, on cogne la table avec l'articulation des doigts (la main étant repliée en poing) — cela surprend la première fois. (D'un autre côté, j'ai un ami qui m'a fait remarquer que si une seule fois on regarde des gens en train d'applaudir en se disant mentalement, "mais qu'est-ce que
   Bref. Je reconnais que le maître de cérémonie joue un rôle important, qui est justement celui que je n'ai pas décrit : il fait comprendre à un orateur qui déborderait son temps qu'il faut songer à arrêter. (Ou il répond à la semi-question "s'il me reste $n minutes…?" soulevée par l'orateur.) En revanche, le rôle de prononciateur de la phrase magique qui ouvre le séminaire, je trouve ça vraiment idiot. Je ne dis pas ça que par iconoclasme : cette façon de procéder (qui est essentiellement celle des soutenances de thèse) donne aux séminaires un côté plus formel, plus rigide, donc aussi plus intimidant (notamment pour les jeunes orateurs) que si l'orateur se contentait de sonder vaguement le premier rang pour savoir s'il peut commencer (et pareil quand il s'agit de savoir s'il reste du temps). Le nom de l'orateur n'a pas besoin d'être répété, a priori tout le monde l'a lu sur l'affiche ou l'annonce du séminaire (et il vaut mieux le voir écrit de toute
   Il y a d'ailleurs au moins un séminaire prestigieux où les choses se passent sans cérémonial, c'est le séminaire Bourbaki. Je suppose que la logique est que le maître de cérémonie serait logiquement Bourbaki, mais que bizarrement il n'est pas présent. Je regrette d'ailleurs qu'il n'y ait pas une petite blague récurrente qui consisterait à ce qu'à chaque séminaire Bourbaki quelqu'un aléatoirement se lève pour annoncer à l'assistance : "Monsieur Nicolas Bourbaki, organisateur de ce séminaire, vous prie de bien vouloir l'excuser pour son absence, due à $raison_inventée_rigolote_et_différente_à_chaque_fois." L'humour mathématicien français a l'air d'avoir un peu décliné depuis les années 30. Au demeurant, j'ai entendu des gens se plaindre du séminaire Bourbaki du fait de son extrême opacité (on ne sait pas comment les orateurs sont choisis, ni d'où vient l'argent), donc je ne sais pas si c'est un modèle à suivre : mais j'apprécie l'absence du
   [Le graphe de Higman-Sims] Je continue dans mon exploration graphique un peu aléatoire d'objets mathématiques exceptionnels et mysérieux avec le graphe de Higman-Sims, dont je viens de produire [DEL: cinq :DEL] [INS: onze :INS] vues.
   Le graphe de Higman-Sims est l'unique graphe ayant 100 sommets, chacun étant adjacent à 22 autres (ce qui fait donc 1100 arêtes au total), de sorte que deux sommets adjacents n'ont jamais de voisin commun (i.e., le graphe n'a aucun triangle) et que deux sommets non adjacents ont exactement 6 voisins en commun. Comme tout objet mathématique exceptionnel qui se respecte, il admet quantité de définitions ou de constructions équivalentes. Son groupe d'automorphismes (d'ordre 88704000), c'est-à-dire l'ensemble des façons dont on peut permuter les sommets en préservant la relation d'adjacence entre eux, est, à une extension d'ordre 2 près, le groupe du même nom, l'unique groupe simple fini d'ordre 44352000 et un des vingt-six groupes sporadiques. Si on fixe un sommet quelconque, le groupe restant (le stabilisateur d'un sommet, donc) est, de nouveau à une extension d'ordre 2 près, le groupe M[22] de Mathieu (qu'on rencontre régulièrement sur ce blog) — ce qui explique
   Il y a une autre façon de décrire le groupe de Higman-Sims, c'est comme les automorphismes d'un certaine structure combinatoire appelée la géométrie de Higman (qui comporte 176 « points » et 176 « quadriques », chaque quadrique comportant 50 points et chaque point étant sur 50 quadriques — et l'automorphisme extérieur du groupe de Higman-Sims correspondant à échanger points et qudratiques). Cette description a été trouvée indépendamment, et on ne s'est pas rendu compte immédiatement qu'il s'agissait du même groupe. Là où le Club Contexte est très content, c'est que le "Higman" du groupe et du graphe Higman-Sims (Donald G. Higman, un Américain) n'est pas le même que le "Higman" de la géométrie de Higman (Graham Higman, un Britannique) ; il semble qu'ils n'aient même pas de lien de parenté évident, c'est tout de même très fort. (Les blagueurs les appelaient "les Higmen".)
   En fait, mes dessins représentent le graphe de Higman-Sims pas seulement comme un graphe abstrait mais comme un minuscule petit bout d'un autre objet mathématique exceptionnel et extraordinaire, le réseau de Leech.
   Le réseau de Leech est réseau régulier de points en 24 dimensions qui a des propriétés absolument mirobolantes ; on peut par exemple le décrire comme la (seule) façon d'empiler des sphères de même rayon, en 24 dimensions, de façon que chaque sphère en touche 196560 autres (les sphères sont centrées sur les points du réseau de Leech) ; il est assez apparenté au réseau engendré par le système de racines E[8] dont je parlais récemment (et qui permet d'empiler des sphères en 8 dimensions, de façon que chaque sphère en touche 240 autres), si ce n'est que le réseau de Leech n'est pas associé à un système de racines. Les isométries laissant invariant le réseau de Leech (et fixant l'origine) forment un autre groupe remarquable, le groupe ·0 (lire "dot-oh") de Conway, qui est une extension par 2 de l'unique groupe simple fini (appelé ·1 par Conway) d'ordre 4157776806543360000, encore un sporadique. Malheureusement, il n'est pas question de représenter le
   Néanmoins, on peut au moins représenter des tout petits bouts du réseau de Leech. Il se trouve que le graphe de Higman-Sims (comme la géométrie de Higman, d'ailleurs) apparaît naturellement comme un tout petit bout du réseau de Leech : si on choisit trois points quelconques du réseau dont les distances entre eux valent 3, 3 et 2, alors il y a exactement 100 points du réseau qui sont à distance 2 de chacun des trois points choisis, et si on relie par une arête ceux qui sont à distance 3, on obtient le graphe de Higman-Sims ; ceci plonge le groupe de Higman-Sims dans le groupe ·1 de Conway comme le groupe des isométries du réseau de Leech fixant le triangle choisi. Les dessins que j'ai fait sont des projections orthogonales du graphe de Higman-Sims tel que je viens d'expliquer qu'il apparaît dans le réseau de Leech, en choisissant une projection qui révèle la symétrie d'ordre 11 (il n'y a qu'une seule classe de conjugaison d'ordre 11 dans ·0, et elle est dans le
   Je me posais la question de la toxicité relative de tous les sels possibles d'un halogénure de métal alcalin (par exemple, il est bien connu que le chlorure de sodium n'est pas vraiment toxique, c'est beaucoup moins évident pour l'iodure de rubidium). J'ai essayé de compiler une table avec les valeurs de LD[50] (ORL-RAT), c'est-à-dire la quantité qu'il faut donner par voie orale à des rats pour en tuer la moitié, exprimée ici en milligrammes de sel par kilogramme de rat :
   L'ennui, c'est que les valeurs de toxicité varient de façon exorbitante pour un sel donné (même en fixant les paramètres comme je viens de le dire), d'une source à l'autre, plus que d'un sel à l'autre ! Et même en tirant toutes ces valeurs d'une seule source, je soupçonne qu'elles ne sont pas très cohérentes les unes avec les autres (ne serait-ce que parce que la précision donnée varie de façon très étrange). Et de toute façon, il en manque. Il faut de toute urgence trouver un stagiaire de chimie pour lui faire tuer plein de rats avec ces vingt sels et de façon systématique. (Par voie orale uniquement. Pour la voie intraveineuse, les États-Unis essaieront sans doute les autres sels sur des humains quand ils auront fini de jouer avec le chlorure de potassium.)
   Ensuite, la question est de savoir si on peut approcher ces valeurs par une unique fonction simple f(x,y) où x ne dépendrait que du cation et y que de l'anion. A priori j'attendrais quelque chose du style 1/(1/x+1/y) où x serait en quelque sorte la toxicité du cation pur et y celle de l'anion pur. Mais ça ne marche pas si c'est vrai que le fluorure de potassium est moins toxique que le fluorure de sodium tandis que le chlorure de potassium est plus toxique que le chlorure de sodium. Ce qui ne me surprend pas, d'ailleurs : dans les fluorures, c'est le fluor qui pose problème (il a très envie de causer des dégâts avec le calcium dans le corps — et ce n'est pas joli), et mon pipotron de gros nul en chimie suggère que comme le potassium est plus réactif que le sodium, il aura moins facilement tendance à laisser partir le fluor ; de même, j'imagine que le fluorure de rubidium et le fluorure de césium sont encore légèrement moins toxiques que le fluorure de potassium.
   Le fluorure de calcium, d'ailleurs, est aussi peu toxique que les moins toxiques des sels listés ci-dessus.
   Une fois que quelqu'un aura mesuré fiablement toutes ces LD[50], quelqu'un de plus aventureux pourra tester tous ces sels (enfin, peut-être pas les fluorures, quand même) et faire un comparatif précis. Là aussi, on a des renseignements épars sur le Web (l'inimitable Theodore Gray nous apprend par exemple que le chlorure de césium a un goût métallique très désagréable, Wikipédia nous renseigne sur le goût faible et amer du chlorure de potassium, et cette page prétend que l'iodure de sodium est encore plus salé que le chlorure de sodium), mais rien de systématique.
   Oui, d'accord, j'aurais pu commencer par faire un tableau des solubilités, ou quelque chose comme ça, qui sont certainement beaucoup mieux connues et comprises, mais ce n'est pas drôle.
Jouons avec le système de racines E[8]
   Comme j'étais déçu de ne pas avoir gagné la même célébrité et fortune avec mes taquins de Mathieu (244823040 = 2^10×3^3×5×7×11×23 combinaisons possibles) qu'Ernő Rubik avec son fameux cube (43252003274489856000 = 2^27×3^14×5^3×7^2×11 combinaisons), voici une nouvelle tentative de puzzle mathématique à 696729600 = 2^14×3^5×5^2×7 combinaisons, sur cette page-ci (qui ne marchera que sur un navigateur assez récent gérant l'élément <canvas>). On peut voir ça comme un petit jeu (appuyer sur "scramble" et cliquer sur les points jusqu'à réussir à tout remettre à sa place) ou comme un outil pour essayer de comprendre le groupe de Weyl de E[8] (à ne pas confondre avec le groupe de Weyl de E[6] dont je parlais récemment). Les explications mathématiques et le mode d'emploi sont au bout du lien. C'est plus simple que le Rubik's cube parce que finalement on ne fait que bouger l'objet en bloc sans le déformer, mais c'est plus compliqué parce que l'"objet" en
   Et c'est frustrant, décidément, quoi que je fasse, je n'arrive pas à visualiser huit dimensions (il faut dire que je n'arrive déjà pas à en visualiser trois, alors…). Le système de racines E[8] est un de ces objets mathématiques exceptionnels et un peu mystérieux que je trouve complètement fascinants et qui devraient être d'une beauté insoutenable si on arrivait à les voir proprement à défaut de seulement les comprendre. En l'occurrence, celui-ci est un peu comme un solide régulier (même s'il n'est pas régulier avec la définition usuelle du terme, c'est-à-dire si on demande que le groupe de symétries soit transitif sur les drapeaux : il n'y a que trois solides réguliers en toute dimension à partir de 5), mais il a quantité d'autres propriétés remarquables.
   Le système de racines E[8] est le point de départ pour construire un autre objet remarquable qui en découle naturellement, et qui est E[8] lui-même. Encore plus compliqué à visualiser, puisque lui a 248 dimensions (comme 8+240, où 8 est le nombre de dimensions dans lequel vit le système de racines E[8] et 240 est le nombre de racines de ce dernier). Et un jour où je serai vraiment en forme, je ferai un puzzle basé sur E[8](𝔽[2]), qui a, pour sa part, 337804753143634806261388190614085595079991692242467651576160959909068800000 = 2^120×3^13×5^5×7^4×11^2×13^2×17^2×19×31^2×41×43×73×127×151×241×331 éléments[#].
   [#] C'est beaucoup plus que les malheureux 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 = 2^46×3^20×5^9×7^6×11^2×13^3×17×19×23×29×31×41×47×59×71 du Monstre, même si le Monstre est en fait beaucoup plus difficile à réaliser parce que pour E[8](𝔽[2]) on peut utiliser des matrices de taille 248×248 alors que pour le Monstre il faut a priori des matrices de taille 196883×196883, ou peut-être 196882×196882 si on travaille sur 𝔽[2] mais en tout cas c'est énorme. Par contre, c'est toujours moins que le nombre de protons de l'Univers, qui vaut notoirement exactement 15747724136275002577605653961181555468044717914527116709366231425076185631031296.
   Beaucoup connaissent sans doute déjà le célèbre film scientifique Powers of Ten de Ray et Charles Eames, qui présente la taille relative des choses dans l'Univers, et des puissances de dix, par un zoom à travers le cosmos, entre un panorama qui englobe de nombreuses galaxies et l'intérieur d'un proton dans la peau d'un homme qui dort après un pique-nique à Chicago (ce pique-nique constituant la scène initiale du film, et le milieu du zoom). Sinon, je vous encourage à le voir (cf. aussi ici).
   Sauf que c'est un peu plus subtil : il y a deux versions du film. Celle que j'ai vue et revue en 1984, c'est la version de 1968, qui est en noir et blanc si je me rappelle bien. Plus tard, le Science Centre a changé et a mis la version de 1977, en couleur (je crois que je l'ai vue en 1988 quand nous sommes retournés à Toronto pour un été), et c'est cette version-là qu'on voit maintenant partout (y compris sur le lien vers YouTube que je donne plus haut). La différence notable entre la version de 1968 et son remake, c'est que la version ancienne, dans la partie du voyage des puissances de dix qui zoome vers l'extérieur et vers le cosmos, affichait les effets relativistes (le temps qui s'écoule pour le voyageur et le temps qui s'écoule sur Terre, notamment, au fur et à mesure que la vitesse s'approche de celle de la lumière). Cela a probablement été jugé trop difficile à comprendre et un peu hors sujet, et éliminé de la version suivante. Mais mon père aimait
   beaucoup mieux cette première version, et a été déçu quand le film a changé.
   Toujours est-il que la version de 1968 est apparemment introuvable sur le Web. C'est dommage. Il y a cependant un DVD, trouvable sur Amazon (mais uniquement d'occasion), qui contient apparemment les deux versions : du moins si j'en crois un commentaire qui confirme mon souvenir à ce sujet :
   Mon cardiologue (que je suis allé voir pour des problèmes de tachycardie et de palpitations — apparemment je fais parfois des extrasystoles bigéminées, mais il n'a pas l'air de trouver ça grave, et il semble que ce soit dû au stress) a jugé qu'il serait peut-être bien de traiter un peu mon anxiété, et les manifestations physiologiques qui l'accompagnent. Non pas avec un anxiolytique mais plutôt avec un bêta-bloquant, en l'occurrence le propranolol à petites doses. On va faire un essai pendant un mois, pour voir comment je réagis, mais sur la description qu'il m'en a faite, ça a l'air d'être vraiment ce qu'il me faut.
   Je suis allé voir Kaboom, parce que la bande-annonce m'avait bien plu. Ben le film n'a pas beaucoup de rapport avec ces extraits. Enfin, plus exactement, l'impression que j'ai eue est qu'il y avait deux ou trois scénaristes et qu'ils se sont amusés à ce que chacun écrive quelques scènes à tour de rôle[#], et qu'ils n'avaient pas du tout le même avis sur ce que devait être le film. Et en plus que l'un d'entre eux avait fait un peu trop usage de psychotropes et qu'un autre avait un sens de l'humour très particulier. Bref, il y a des scènes qui sont bonnes, mais dans l'ensemble, je ne recommande vraiment pas ce film inclassable. Sauf peut-être comme nanar à regarder après une teuf ou une partouze.
   [#] C'est une blague classique sur Internet, je crois (et peut-être quelqu'un saura-t-il la retrouver), l'histoire, malheureusement inventée, où un garçon et une fille (au lycée ou à la fac, je ne sais plus) doivent écrire une histoire en écrivant chacun une phrase ou un paragraphe à son tour, et ils ne veulent vraiment pas la faire aller dans le même sens, et le résultat de la dispute est tout à fait cocasse.
Jouons avec le problème de Galois inverse
   Le fait inutile du jour : le polynôme
   a pour groupe de Galois sur ℚ le groupe de Weyl de E[6], d'ordre 51840 qui peut être décrit comme SO[6]^−(𝔽[2]) ou SO[5](𝔽[3]) ou encore comme groupe des automorphismes de l'unique groupe simple d'ordre 25920 (qui peut lui-même être décrit comme n'importe lequel de : SU[4](𝔽[2]), SΩ[6]^−(𝔽[2]), PSp[4](𝔽[3]) ou SΩ[5](𝔽[3]).
   [Figure géométrique] Ci-contre, la figure de ses racines dans le plan complexe (j'ai cadré pour qu'on les voie toutes sauf une, la racine réelle valant environ 7.2113675276, qui déborde). Le graphe que j'ai représenté en reliant chacune des racines à 10 autres, et qui est isomorphe au graphe du polytope 2[21] de Gosset, est préservé par le groupe de Galois : ce dernier est justement l'ensemble des permutations des racines qui laissent connectées les racines qui l'étaient.
   Le polynôme est scindé modulo 1564741, 2506421, 2842537, 2848051, 3116447, 3331217, 3728393…
   Plein d'appareils électroniques (du magnétoscope au four à micro-ondes en passant par le téléphone sans fil, la station météo et que sais-je encore) viennent avec une horloge interne, et affichent l'heure de façon bien visible. Ça part d'une bonne intention, mais c'est plutôt une source d'emmerdes. Non seulement ça veut dire que deux fois par an il faut passer par tous ces appareils et se rappeler comment on est censé les régler (et c'est parfois extrêmement peu intuitif, comme pour mon autotensiomètre), mais en plus, même en-dehors des changements d'heure, ces maudits trucs ne sont jamais foutus de rester à l'heure : le pire chez moi est le four à micro-ondes qui prend quelque chose comme dix minutes d'avance par mois, mais même les trucs censés se mettre à l'heure automatiquement ne le font pas toujours correctement (ma station météo censément radio-contrôlée ne capte pas bien le signal car mon appartement est au fond d'une cour, et parfois elle se
   décale d'une ou deux heures ; et mon poussinet et moi nous sommes tout juste débarrassé d'un décodeur TNT qui trouvait inexplicablement le moyen de se régler chaque nuit à une heure de retard en été et deux en hiver — non, ce n'est pas le temps universel, c'est exactement le contraire, je ne sais vraiment pas comment c'est possible — plus quelques minutes un peu aléatoirement). La seule chose qui soit vraiment et fiablement à l'heure, chez moi, c'est mon ordinateur (lui il obtient l'heure par réseau), mais même s'il affiche l'heure en haut de mon bureau, je ne suis pas dessus 24h sur 24 (contrairement aux rumeurs à ce sujet), et l'écran s'éteint au bout d'un certain temps.
   Les six langues officielles des Nations Unies sont l'arabe, le chinois, l'anglais, le français, le russe et l'espagnol. Même si on peut discuter dans le détail (par exemple pour arguër que le hindi+ourdou devrait y figurer si on ne compte qu'en nombre de locuteurs ; ou que le chinois ne devrait pas y figurer si on mesure l'usage limité qu'il en est fait comme lingua franca en-dehors d'un pays ; etc.), il n'en demeure pas moins que, globalement, c'est une bonne approximation des langues importantes au niveau planétaire. Disons que si on devait choisir six langues à connaître pour se débrouiller sur Terre, pour être citoyen du monde, il s'agit d'un choix plus que raisonnable. Malheureusement, ce sont aussi six langues globalement plutôt merdiques au niveau de la difficulté à les apprendre (je n'ai pas énormément de points de comparaison, mais l'allemand, par exemple, est probablement nettement plus facile à apprendre qu'aucune des six[#] — je parle pour quelqu'un
   Voilà ce qui me donne l'idée suivante : j'aimerais apprendre un texte unique dans ces six langues. Apprendre, c'est-à-dire apprendre à lire et à prononcer (fût-ce avec un accent pourri), tout en comprenant ce que je lis ou prononce ; voire apprendre par cœur, selon la patience que j'ai à réaliser ce défi. Le texte, choisi pour son universalité et pour le fait d'être naturellement disponible dans les six langues des Nations Unies (mais éventuellement dans beaucoup d'autres si je veux continuer le défi), s'impose de lui-même : la Déclaration universelle des Droits de l'Homme. Comme il est assez long et qu'il faut un début à tout, il s'agit au moins de commencer par savoir lire :
   Bon, ce n'est pas tout de savoir comment ça s'écrit, il faut aussi savoir comment ça se prononce. Je n'ai pas de problème pour le français ou l'anglais, et je peux certainement trouver assez facilement comment l'espagnol se prononce. Pour les trois autres langues, il me manque (au moins) un complétement très important pour que la tâche devienne vaguement algorithmique : pour l'arabe la vocalisation complète, pour le chinois mandarin la transcription en pinyin (tons compris) ou en bopomofo, et pour le russe la place de l'accent tonique. Voire, directement, une transcription précise en alphabet phonétique. Cela est beaucoup plus difficile à trouver.
   Par ailleurs, conformément à ce que j'avais déjà souligné, il est amusant et intéressant de faire des rercherches dans Google images des différents mots. Par exemple, s'agissant du mot qui signifie "dignité" (dans "égaux en dignité et en droits"), voici ce qu'on obtient quand on le recherche : en arabe, en chinois, en anglais, en français, en russe et en espagnol : les êtres humains sont peut-être égaux en dignité, mais manifestement ils ne se la représentent vraiment pas de la même façon ! (Et sur ces images, je préfère clairement la version espagnole.)
   [#] Esquisse d'argument : l'allemand a une prononciation passablement régulière par rapport à son écriture (en tout cas par rapport à l'anglais ou au français) et l'écriture donne toute l'information pour lire le mot (contrairement à l'arabe, au chinois et dans une certaine mesure au russe), sa grammaire est d'une difficulté modérée dans l'absolu (nettement plus que l'arabe ou le russe), sa morphologie est limitée (contrairement au français, au russe et à l'espagnol), et son vocabulaire est productif à partir d'un nombre de formes de base nettement plus limitées que la plupart des autres langues. Je pense donc que quelqu'un qui ne parlerait, disons, que le tamoul (pour qu'il soit un peu neutre dans le jugement), et qui disposerait de méthodes ou de professeurs d'un niveau égal, aurait plus de facilité à apprendre l'allemand que l'arabe, le chinois, l'anglais, le français, le russe ou l'espagnol.
   intéresser d'autres que ceux qui les font). Bref, je ne trouve pas ça, pour ma part, spécialement méprisable, vu qu'il est aussi naïf de penser qu'on peut faire sans qu'il le serait de s'imaginer qu'on peut gagner une bataille sans généraux ou qu'on peut accéder au pouvoir et garder tous ses idéaux — et en tout cas c'est (intellectuellement, humainement, sociologiquement) intéressant à observer.
   Car tout devient prétexte à déceler un nouveau mouvement de fond. N'importe quelle déclaration marque "un tournant", n'importe quelle phrase prononcée sans réfléchir est lourde de sens et de calcul, tout n'est que sophistication byzantine (que seuls ces mêmes analystes, bien sûr, savent décoder). Le Premier ministre a-t-il prononcé une phrase dans laquelle on pouvait éventuellement imaginer une nuance différente de celle que le Président avait utilisée ? Tout de suite, Matignon "marque sa différence" avec l'Élysée. La première secrétaire du Parti socialiste attaque-t-elle telle position du chef de l'État ? C'est forcément un calcul très précis concernant la façon dont le Front national se positionnera au premier tour de la présidentielle de 2012. Ouhlà. L'opinion publique telle que mesurée par je ne sais quel sondage de marge d'incertitude gigantesque a-t-elle varié de 1% ? C'est un vaste retournement qui se dessine sur le sujet. Et d'en tirer des
   leçons à donner à tout le gotha politique.
   A priori, le site marchand spartoo.com (ils vendent des chaussures, et quelques vêtements) est bien conçu, leur catalogue est intéressant (à mes yeux au moins), et leurs prix sont compétitifs. Ils livrent rapidement, et il est très simple et gratuit de faire un retour si on s'est par exemple trompé de pointure (on imprime une étiquette qu'on colle sur le colis, et on le dépose dans un relais Kiala, c'est-à-dire un réseau de commerçants qui font du dépôt et de la livraison de colis). Tout cela est fort attractif.
   Quand ça marche. Parce que le problème avec les mécaniques bien huilées, c'est que quand il y a un problème, il devient impossible de faire quelque chose. J'avais commandé, le 30 août, une paire de chaussure Nike (Air Force 1 Mid, 315123-003) de couleur noire. Le 2 septembre (quand je vous dis que c'est rapide !), la commande m'est livrée. Problème : elle m'est arrivée bleue. La couleur bleue n'étant pas dans le catalogue de spartoo.com, je soupçonne une erreur dans les stocks. De fait, la boîte est correctement étiquetée par Nike (ces andouilles ne disent pas "blue", ils disent "varsity royal", ce qui est quand même le nom de couleur le plus grotesquement pompeux qui soit, mais bon, au moins le numéro de référence est clair, c'est 315123-400 alors que sur ma facture c'est 315123-003).
   Pas de problème, il suffit de retourner la chose et de demander un nouvel article. Le formulaire de retour a même une case "le produit m'est bien arrivé, mais ce n'était pas la couleur commandée", que je coche, et il y a un champ pour entrer plus d'explications. Je dépose donc (toujours le 2 septembre) mon colis correctement étiqueté chez une imprimerie pas loin de chez moi qui fait relais Kiala, et j'attends des nouvelles. Le lendemain je reçois un mail m'annonçant que mon retour est accepté.
   Le 8 septembre (mercredi dernier), nouvelle livraison, en remplacement. Très bien, mais c'est toujours exactement la même chose : la chaussure est obstinément bleue, et porte obstinément le numéro 315123-400. Cette fois, en plus de faire un retour, j'écris au service clientèle (enfin, j'écris à une de ces adresses associées à un prénom féminin évocateur par lesquelles spartoo.com écrit à ses clients, et qui sont, probablement, toutes exactement la même chose) un mail détaillé expliquant la situation, avec toutes les références : je reçois un mail automatisé m'informant qu'un ticket de demande de renseignement est ouvert. Bon, ce n'est pas une demande de renseignement, mais on peut au moins espérer qu'ils les lisent. Pour plus de précaution, je colle sur la boîte des chaussures que je retourne un post-it sur lequel j'attire de façon très visible l'attention sur le problème ("Vous avez une erreur dans vos stocks : ceci est la référence Nike 315123-400
   Aucune réaction du service client, bien sûr, sauf les mails complètement automatisés me signalant que mon retour est accepté, qu'une nouvelle commande est en préparation (c'est "Amélie" qui signe les mails relatifs aux colis, et "Adriana" qui signe ceux concernant les commandes : pourquoi ai-je l'impression que ces personnes n'existent pas ?). Et ce matin (11 septembre, donc), nouvelle livraison. La chaussure persiste à être bleue. Je me demande si je n'ai pas reçu exactement la même, d'ailleurs (j'aurais peut-être dû mettre un lapin blanc invisible dans la boîte que je retournais, pour le savoir) ; après tout, ils ne doivent pas avoir tant de paires que ça, pour un modèle précis et une pointure précise.
   J'ai hésité à être taquin et obstiné, et à continuer les retours avec demande d'échange pour voir combien de temps ça pourrait durer avant que quelqu'un se rende compte de la situation. Après tout, même si visiblement les frais de personnel doivent être très réduits puisque tout a l'air totalement automatisé, il faut au moins qu'ils paient à chaque fois une livraison par Colissimo, qui aurait fini par représenter plus que le prix de la chaussure, et en tout cas certainement plus que leur marge dessus. Mais bon, je veux quand même revoir mon argent, à défaut de chaussures de la bonne couleur : je fais donc un retour contre remboursement. (En ayant quand même la conscience de décrire, de nouveau, sur un post-it sur la boîte, quel est le problème, et en le signalant de nouveau au service clientèle.) J'irai acheter cette paire de chaussures dans une vraie boutique[#] dans la vraie vie.
   Reste que j'ai perdu du temps, vraiment inutilement, avec cette connerie, ne serait-ce qu'à fermer des boîtes, à coller des étiquettes, à déposer des colis dans des relais, et à rédiger des mails au service clientèle qui ne les lira apparemment jamais. Et eux ont perdu de l'argent aussi. Ça laisse surtout un goût amer à cause de l'impossibilité de contacter un humain : il y a probablement quelqu'un chez spartoo.com qui serait content d'entendre mon histoire[#2], mais je n'ai aucune façon de le contacter (mes mails partent directement à la poubelle, et mes post-its sur les boîtes certainement aussi vu que le magasinier qui les reçoit n'y est pour rien et ne peut rien y faire). Et il y a probablement quelqu'un qui chausse aussi du 44 qui aura envie d'acheter la même paire de chaussures que moi et qui subira la même surprise.
   Mise à jour (2010-09-13) : Ils m'ont téléphoné pour s'excuser, expliquer un peu ce qui s'est passé (il y a eu une erreur entre la référence qu'ils ont photographiée et enregistrée sur le catalogue et celle qu'ils ont commandée à Nike), et m'offrir un bon de réduction pour mes prochains achats chez eux.
   [#] C'est ce que j'aurais dû faire dès le début, me dites-vous ? Pas clair : si j'ai commandé chez spartoo.com, c'est justement suite à l'agacement du service chez une boutique Foot Locker : j'ai montré un modèle exposé (et en promotion) en demandant à l'essayer en 43 (selon les marques, je chausse entre 42 et 46), j'attends cinq minutes qu'on me l'apporte, je l'essaie, il est trop petit, et je me rends compte que par ailleurs ce n'est pas exactement le modèle que j'avais demandé. J'attire l'attention sur ce fait (la différence entre les modèles n'était vraiment pas évidente, et la vendeuse n'en avait apparemment pas du tout pris conscience), et je demande à voir l'autre, et en 44 : de nouveau cinq minutes passent, et on m'apporte bien du 44, mais toujours du mauvais modèle. Cette fois, je n'essaie pas les chaussures, j'insiste pour voir le modèle que j'avais montré et pas celui d'à-côté, et on me répond, avec le ton de la plus parfaite évidence, qu'il n'y
   en a plus. Je suis parti un peu furieux et en oubliant que comme le modèle exposé (celui que je voulais) était à ma pointure, je pouvais au moins exiger d'avoir la paire de démonstration.
   [#2] Bien sûr que le risque de faire ce genre d'erreurs est un coût parfaitement assumé par le marchand, eu égard aux économies de personnel qu'il permet de faire. Mais là l'absurdité est poussée jusqu'à un point vraiment extrême.
   Une tradition idiote (dont je ne sais pas si elle est franco-française ou si d'autres pays font pareil) veut qu'à chaque manifestation les journalistes donnent le nombre de manifestants "selon la police — et selon les organisateurs". Je sais que ça devient une manie chez moi de taper sur les journalistes, mais, quand même, en disant ça, ils sont en train de dire qu'ils ne font pas leur boulot : parce que, dans mon esprit, c'est justement la presse qui serait censée enquêter de façon impartiale pour établir un chiffre correct. Par exemple, en cherchant à savoir comment, au juste, les uns et les autres arrivent à leurs nombres, ou, plus exactement, qui ils comptent au juste, et en déterminant par quel rapport ces méthodes de dénombrement/sélection sous- ou sur-estiment la population de manifestants par rapport à ceux qui répondraient "oui" à la question "êtes-vous en train de manifester pour ‹truc› ?" (ce qui est, à mon avis, la bonne façon de
   caractériser un manifestant, et à le distinguer d'un badaud). Ça n'a pas l'air excessivement difficile[#], et ça permettrait de mettre un terme à ce pipo récurrent.
   [#] Exemple de protocole expérimental : se renseigner sur la façon dont la police compte, et sur la façon dont les organisateurs comptent, appliquer ces deux méthodes à un échantillon d'entre une grosse centaine et un petit millier de personnes, vérifier que le rapport entre les deux chiffres est bien le rapport entre les chiffres (ou les chiffres partiels à l'heure considérée) donnés par la police et les organisateurs, puis, ce contrôle passé, déterminer de façon fiable qui est au juste manifestant dans l'échantillon en posant la question à chacune de ces personnes, et conclure.
   Ça c'était à 15h. À 21h le pansement était déjà tombé : j'ai mangé un petit peu de chocolat (même pas particulièrement dur ni sorti du frigo) et je n'ai pas fait suffisamment attention, ou pas réussi, à ne manger que du côté droit.
   En français, en principe, un "milliard" désigne le nombre 10^9 (ou 1e9 dans la version informatique de la notation scientifique), c'est-à-dire 1000000000 (un un suivi de neuf zéros), ou mille millions ; un "billion" désigne 10^12 (=1e12), c'est-à-dire 1000000000000, soit mille milliards ou un million de millions ; et un "trillion" désigne 10^18 (=1e18), c'est-à-dire 1000000000000000000, soit un million de billions, ou un milliard de milliards. Il n'y a pas de mots pour désigner 10^15 (=1e15), on doit juste dire mille billions (quand j'étais petit, je m'imaginais fort logiquement que c'était un "billiard", qui a même une entrée sur Wikipédia en français, mais ce n'est pas très sérieux). De façon générale, un N-llion, c'est 10^6N (par exemple, un septillion, c'est 10^42), ou, si on préfère parler en puissances de 1000, c'est 1000^2N : on dit donc que le français utilise la convention 2N. Les puissances de mille sont appelées, dans cette convention : mille,
   En anglais, le mot "million" a le même sens que son homologue français ; le mot "milliard" n'existe pas trop ; et un "billion" désigne le nombre 10^9 (ou 1e9 dans la version informatique de la notation scientifique), c'est-à-dire 1000000000 (un un suivi de neuf zéros), ou mille millions, ce qu'en français on nomme un milliard. Un "trillion" désigne 10^12 (=1e12), c'est-à-dire 1000000000000, ce qu'en français on nomme un billion ; et un "quadrillion" désigne 10^15 (=1e15), c'est-à-dire 1000000000000000, ce qui se nomme en français mille billions, ou un "billiard" si on consent à utiliser ce mot. Quant à 10^18 (=1e18), le "trillion" du français, en anglais il se dit "quintillion". De façon générale, un "N-llion", c'est 10^3(N+1) (par exemple, un "septillion", c'est 10^24, ce qu'en français on appellerait "quadrillion"), ou, si on préfère parler en puissances de 1000, c'est 1000^N+1 : on dit donc que l'anglais utilise la convention N+1. Les puissances de mille
   La pratique, c'est que c'est le bordel complet. D'abord, parce que le français eut utilisé (au moins partiellement) la convention N+1 : le Littré définit le "billion" comme : "Terme d'arithmétique. Dix fois cent millions ou mille millions, un milliard, qui [le mot `milliard'] est plus particulièrement usité dans le langage de la finance et dans le langage ordinaire." Et "trillion" : "Terme d'arithmétique. Mille billions, ou mille fois mille billions." (le Club Contexte vous remercie, Monsieur Littré ! Dans la première définition, "ou" veut dire "c'est-à-dire", et dans la seconde il veut dire "ou bien au contraire".) Je pense qu'il y a toujours eu confusion.
   Je ne sais pas ce qui a pu être décidé en 1948[#0] ou comment ça a pu se passer, mais au moins ça a le mérite d'être clair : d'après l'OED, la convention initiale est la convention 2N, et elle date du 16^e siècle en France, puis a été adoptée en anglais au 17^e siècle ; au 19^e siècle la France est passée à la convention N+1 (d'où les définitions données par Littré), les États-Unis ont suivi, puis au 20^e siècle la France est revenue à la convention d'origine 2N. Bon, en fait, mon édition de l'OED date des années '80 (c'est la dernière édition imprimée), et j'imagine qu'une édition plus récente signalerait que les Britanniques se sont maintenant plus ou moins pliés à l'impérialisme américain (donc N+1) et que "billion" désigne maintenant vraiment un milliard même en Angleterre.
   Pour utiliser quoi à la place ? Une idée serait la notation scientifique. Mais celle-ci souffre de ses propres problèmes : d'abord, j'ai souligné que 10^12 s'écrit aussi 1e12, donc il y aura toujours des journalistes assez cons pour dire que 10^12 c'est "10 suivi de douze zéros" ou a contrario pour lire 1e12 comme "1 puissance 12" ou ce genre de choses ; ensuite, il y a quelque chose dans la façon dont fonctionne la mémoire humaine qui fait qu'on retient plus facilement la mantisse que l'exposant, alors que c'est l'exposant qui est le plus important, et parfois il n'est pas si facile que ça de retrouver l'ordre de grandeur à un facteur 10 près ; enfin, c'est pénible à lire de toute façon, et c'est peu littéraire.
   J'ai donc une autre solution : utilisons les préfixes SI comme si c'étaient des noms de nombres. On peut évidemment garder mille et le million, et éventuellement en français le milliard, mais à partir de là, disons sans hésiter : un téra (=1e12), un péta (=1e15), un exa (=1e18) et un zetta (=1e21) ; voire, un yotta (=1e24), mais cela prête à confusion pour d'autres raisons et de toute façon on a rarement besoin de nombres aussi grands. Le téra (=1e12, un million de millions) est de toute façon le plus important dans cette histoire : c'est lui qui se dit en principe "billion" en français et "trillion" en anglais, et qui cause le plus de confusion parmi les choses qu'on rencontre vaguement. La dette des États-Unis est de treize téra [de] dollars (ou "treize téradollars"), un japonais vient de calculer cinq téra [de] décimales de pi, le corps humain compte environ dix téra [de] cellules humaines (et cent téra [de] cellules dans la flore intestinale), et ça se
   Faites circuler le mème ! (Après tout, la façon dont les journalistes utilisent ce genre de mots, c'est en reprenant ce que des scientifiques leur disent. Donc s'il faut inséminer l'idée, c'est bien chez des scientifiques — et j'imagine qu'il y en a qui lisent mon blog.)
   [#0] Ajout : Il s'agirait apparemment de la 9^e Conférence générale des Poids et Mesures, mais je ne trouve rien à ce sujet dans les résolutions de cette dernière. Par ailleurs, cette page en dit un peu plus sur la façon dont le bordel est apparu. Mais elle prétend que l'usage de la convention 2N est (re?)devenu légal en France par le décret 61-501 du 3 mai 1961 (relatif aux unites de mesure et au controle des instruments de mesure), et je ne vois rien dans ce décret qui mentionne le nommage des grands nombres pas plus que dans les résolutions de la 9^e CGPM.
   [#] Faut-il une preuve de ce que j'avance ? Chercher ""trillions de dollars"" sur Google : toutes les réponses (sauf celles qui dénoncent justement le phénomène dont je parle) sont forcément des erreurs, parce qu'un vrai trillions de dollars (10^18, un milliard de milliards, un exa de dollars, quoi) c'est tellement gigantesque que ça ne peut rien désigner de correct.